Mechanics of Vibration 振 动 力 学 主讲：李龙飞 山东科技大学理学院力学教研室 2011.9 Mechanics of Vibration 教 学 内 容 ? 绪 论 ? 单自由度系统的振动 ? 多自由度系统的振动 ? 连续体系统的振动 ? 振动问题的近似解法 Mechanics of Vibration 章 绪论 §1-1 §1-2 §1-3 §1-4 振动概述与分类 振动系统模型与动力自由度 振动运动方程的建立方法 简谐振动基础 Mechanics of Vibration §1-1 振动概述与分类 一、振动的定义 物体在平衡位置附近来回往复的运动或系统的物 理量在其平均值附近来回变动。--- 振荡性 ? 自然界普遍现象之一； ? 各种物理现象，如声、热、 电磁、光等都包含振动； Mechanics of Vibration Mechanics of Vibration 二、振动的利与弊 ? 振动的危害：影响精密仪器设的功能、降 低机械加工的精度；加剧构件的磨损和疲劳； 危害结构的强度，发生大变形导致机器或结构 的破坏甚至酿成灾难性的事故。 Mechanics of Vibration 大桥振动破坏 1940年，美国华盛顿州 Tacoma大桥 悬索桥结构，中央跨距为853m Mechanics of Vibration Tacoma大桥遭风塌毁的原因 ： Mechanics of Vibration 实验表明：振动频率在 4~8Hz 时，人体将处于垂直方向振动 的 共 振 状 态 ， 胸 、 心 脏 不 适 。 1 0 ~ 1 2 Hz 时 ， 腹 部 共 振 。 0.1~0.3Hz时，头晕。 Mechanics of Vibration 噪声对人体机能的影响 Mechanics of Vibration ? 振动的益处：振动给料机、振动筛选机、振 动破碎机、振动球磨机、振动打桩、振动测 桩、振动抛光、结构的减振、抗震等都是利 用振动的特性进行工作的。 振动筛 振动按摩椅 Mechanics of Vibration 三、振动力学及其学习目的 振动具有共性，可建立统一的理论来描述。 ? 振动力学 借助刚体力学和变形体力学、物理学和数学， 探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的 基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有 害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解 决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。 Mechanics of Vibration ? 学习振动力学的目的之一： 掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振 动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害 影响。 振动也有它积极的一方面，是可以利用的 例如：振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础 工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送、地震仪等 ? 学习振动力学的目的之二： 运用振动理论去创造和设计新型的振动设、仪器及 自动化装置 Mechanics of Vibration 楼房的抗震 Mechanics of Vibration 汽车的振动控制 Mechanics of Vibration 四、振动问题的提法 ? 系统：通常的研究对象； 它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等。 ? 激励（输入）：外部激振力等因素； ? 响应（输出）：系统发生的振动； 激励 （输入） 响应 （输出） 系统 Mechanics of Vibration 激励 （输入） 系统 响应 （输出） 振动问题按这三个环节可分为三类问题 ? 类：已知激励和系统，求响应 ? 第二类：已知激励和响应，求系统 ? 第三类：已知系统和响应，求激励 Mechanics of Vibration 激励 （输入） √ √ 系统 响应 （输出） ? 类：已知激励和系统，求响应 --- 振动正问题 动力响应分析 主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形 、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求 。 在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符 合要求再作修改，直到达到要求而终确定设计方案，这一过 程就是所谓的振动设计。 Mechanics of Vibration 激励 （输入） √ 系统 ? √ 响应 （输出） --- 个逆问题 第二类：已知激励和响应，求系统 系统识别，系统辨识 求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和 阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振 型等）的认识 。 以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动 固有特性为任务的叫做模态参数辨识或者试验模态分析 。 Mechanics of Vibration 激励 （输入） ? √ √ 系统 响应 （输出） --- 第二个逆问题 第三类：已知系统和响应，求激励 振动环境预测 例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车 记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振 动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根 据地为产品设计可靠的减震包装 。 Mechanics of Vibration 五、振动及系统分类 ? 按照系统的物理特点分类： 线性振动 ? 振动系统的质量不变，弹性恢复力和阻力与 运动参数（位移、三综合试验箱速度）成线性关系； ? 描述其运动的方程为线性微分方程； ? 线性叠加原理是其重要特性。 非线性振动 ? 不能简化为线性系统； ?描述其运动的方程为非线性微分方程； ?线性叠加原理不成立; Mechanics of Vibration ? 按照对系统激励的类型分类： 自由振动： 系统在特定初始激励作用（如初始位移或初始 速度）下产生的振动。三综合试验箱 强迫振动： 系统在给定的外界激励作用下产生的振动。 固有振动： 无激励时系统所有可能的运动集合，反映系统 关于振动的固有属性。 自激振动： 激励是受系统振动本身控制的，在适当的反馈 作用下，系统将自动地激起定幅的振动；当系 统的振动被抑制时，激励也将随之消失。 参数振动： 这种激励方式是通过改变系统的物理特性参数 来实现的。 Mechanics of Vibration ? 按照对系统激励的特点分类： 确定性振动： ? 确定性系统：系统的物理特性是确定的，不论它 是常参数系统还是变参数系统。 ? 确定性激励：外界的激励可以用时间的确定性函 数 来描述。 ? 确定性系统，在受到确定性激励作用时，其响应 也是确定的。 随机振动： ? 随机激励不能用时间的确定性函数表示； ? 具有一定的统计规律性，可用概率统计方法描述； ? 系统的振动响应也是随机的（随机振动）； Mechanics of Vibration 确定性激励可分为： ? 周期性激励 ? 冲击激励 周期性激励 简谐激励： --- 激励随时间周期性变化 ? 激励随时间的变化规律可用正弦或余弦函数表示； ? 振动响应亦为时间的正弦和余弦函数（简谐振动）； 非简谐的周期激励： ? 除简谐激励外的周期激励； ? 利用傅里叶级数展开，将周期激励表示成无穷多个简 谐函数的叠加。 ? 对于线性系统，利用叠加原理，将各个简谐激励下的 响应叠加起来，可得系统对周期激励作用下的响应； Mechanics of Vibration §1-2 振动系统模型与动力自由度 一、振动系统模型 振动系统三要素：质量，刚度，阻尼 ? 质量：感受惯性（包括转动惯量）的元件； ? 刚度：感受弹性的元件； ? 阻尼：耗能元件； Mechanics of Vibration 振动系统模型的分类： ? 离散系统模型 （单自由度系统 ，多自由度系统） 结构参数为集中参量 数学工具：常微分方程 （无限多自由度系统，分布参数系统） ? 连续系统模型 结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布 数学工具：偏微分方程 Mechanics of Vibration 二、动力自由度 动力自由度： 确定系统的全部质量在任一时刻的位置所需独立的 几何参数（坐标）的数目; 将无限自由度系统简化为有限自由度系统的方法： 1. 集中质量法 2. 广义坐标法 3. 有限单元法 Mechanics of Vibration §1-3 振动运动方程的建立方法 一、动静法 将质点上实际存在的力和假想的惯性力分别用自由 度坐标及其导数来表示，通过列静力平衡方程即可得 到质点的运动微分方程。 ? F ? (?ma) ? 0 i i 动静法将本质上是动力学问题转化为一个形式上的静 力学问题。 动静法包括刚度法和柔度法。 Mechanics of Vibration 二、拉格朗日方程方法 从能量观点出发，将系统中的动能、势能和功等物 理量表达为自由度坐标及其导数的函数，从动力学普 遍方程推到出来。 对于具有完整约束的质点系，拉格朗日方程为： d ? ? ?T ?j dt ? ? ?q ? ?T ?? ? Qj , ? ?q j ? j ? 1,2, ? , n T 为系统的 式中，q j 为系统中的第j个广义坐标（自由度坐标）： Q j为作用于系统的所有主动力关于广义坐标q j的广义力， 动能， 可用虚功求出。 Mechanics of Vibration ? 工程中大多数问题的运动都受到周围物体的限制，不 能任意运动，这种限制称为约束，这种质点系称为非自 由质点系。 ? 对非自由质点系常见的约束是限制其各质点的位移 关系，这种约束称为几何约束。 ? 在选定的坐标系内，限制质点系统位移的几何约束可 用相应的约束方程来描述。 ? 若约束方程只含坐标本身和常数项，此称为定常约束 （或稳定约束）； ? 若约束方程中包含时间变量，则称为非定常约束。 ? 这两类约束通常称为完整约束。 Mechanics of Vibration ? 当系统为保守系统，即主动力为有势力时： Qj ? ? ?U , ?q j j ? 1,2,?, n U 为系统的势能，仅与广义坐标有关。 式中， ? 保守系统的拉格朗日方程为： d ? ? ?T ?j dt ? ? ?q ? ?T ?U ?? ? ? 0, ? ?q ?q j j ? j ? 1,2, ?, n ? 拉格朗日函数： L ? T ?U ? 以拉格朗日函数表示的，保守系统的拉格朗日方程为： d ? ? ?L ?j dt ? ? ?q ? ?L ?? ? 0, ? ?q j ? j ? 1,2,?, n Mechanics of Vibration ? 如果系统除了有势力的作用外，还存在其它非有势力 的作用，则此非保守系统的拉格朗日方程为： d ? ? ?T ?j dt ? ? ?q ? ?T ?U ?? ? ? Qj , ? ?q ?q j j ? j ? 1,2, ?, n 或： d ? ? ?L ?j dt ? ? ?q ? ?L ?? ? Qj , ? ?q j ? j ? 1,2, ? , n 拉格朗日方程主要应用于建立有限自由度 系统的运动微分方程 Mechanics of Vibration 三、哈密尔顿原理 ? 对于保守系统而言，系统在给定初始和终了运动状态 之间的真正运动，它和运动学上许可的运动的区别在于， 对于真正的运动来说，哈密尔顿作用量的变分等于零， 即 ? ? Ldt ?? ? (T ? U )dt ? 0 t1 t1 t2 t2 ? 若系统还存在非有势力的作用，相应的哈密尔顿原理 可表示为 ? ? (T ? U )dt ? ? ?Wdt ? 0 t1 t1 t2 t2 哈密尔顿原理主要应用于建立连续弹性体的运 动微分方程 Mechanics of Vibration §1-4 简谐振动基础 一、简谐振动的特征 滑块受到的合外力： ? ? F ? ?kx (1) O X F X O 加速度为： ? ? F k ? a? ?? x m m k 2 令： ? ? 得到： m ? 2? a ? ?? x (2) （ 1 ）式表达了简谐振动的 动力学特征； （2）式表达了简谐振动的 运动学特征。 Mechanics of Vibration 二、简谐运动的运动方程 1、简谐运动的微分方程 及其解： d 2x d 2x 2 ? a? 2 ? ? ? x?0 (3) 2 dt dt 它的解为： x ? A cos(?t ? ? ) 2、简谐运动的速度和加 速度 dx v? ? ??A sin( ?t ? ? ) vm ? A? dt 2 d x 2 2 a? ? ? ? A cos( ? t ? ? ) a ? A ? m 2 dt 可见，有： a ? ?? 2 x Mechanics of Vibration 3.简谐振动的 x-t,v-t,a-t图 x ? A cos( ?t ? ? ) v ? ? A ? sin( ?t ? ? ) 2 ? A? cos(?t ? ? ? ? / 2) x ,v , a ?2 A A a ? ? A ? cos( ?t ? ? ) a x ? ? 2? 注意三者相位的关系 o ? ?A 3? 4? ? ? ? t v ? ?0 Mechanics of Vibration 三、简谐振动的能量 我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。 设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具 有的动能EK 和势能EP 分别为 1 1 2 2 E k ? mv E p ? kx 2 2 考虑到x ? A cos(?t ? ? ) 及v ? ??Asin(?t ? ? )与? 2 ? k / m 可得到： 1 E k ? kA2 sin 2 (?t ? ? ) 2 1 E p ? kA2 cos2 (?t ? ? ) 2 1 2 因此， 弹簧振子的总机械能为 : E ? E k ? E p ? kA 2 结论： （ 1 ）作简谐运动的物体，其机械能守恒。 （2） 简谐运动的总能量和振幅的平方成正比。 Mechanics of Vibration ? 简谐振动运动学 简谐运动的运动方程： x ? A cos(?t ? ? ) 上式中A、?、?是描述简谐运动的三个 特征量。 1、振幅 A表示振动物体离开平衡 位置的位移的 值， 称为振幅。 振动系统的能量决定振 幅。 2、周期和圆频率 （ 1 ）周期： 简谐振动的物体作一次 全振动所需的时间， 用T表示。 ?T ? 2? , 又? ? k / m, 所以 2 m T ? 2? k Mechanics of Vibration （2）频率与圆频率 * 单位时间内物体所完成 全振动的次数称为 频率, 用f表示。 1 ? f ? ? T 2? ? ? 2?f *?称为振动的圆频率或角 频率。 注意： a） 周期和频率都是反映振 动快慢的物理量。 b) 一个系统自由振动的周 期和频率完全由这 个系统本身的性质决定 。该频率称为系统的 固有频率。 c) 频率的单位是赫兹（ Hz），可记作 1/ 秒（s ?1）。 圆频率的单位是弧度 / 秒（rad ? s ?1）。 Mechanics of Vibration 3、相位和初相 相位是决定物体振动状 态的物理量。 ?是t ? 0时的相位，称为初相位 ，简称为初相。 (?t ? ? )称为物体在 t时刻振动的相位（或相 ）。 注意： a）简谐振动的频率或圆 频率由系统本身的性质 决定 b）简谐振动的振幅 A和初相位?则由初始条件确定。 下面指出由初始条件确 定A和?的方法： ? x ? A cos(?t ? ? ), v ? ? A? sin(?t ? ? ), 且已知t ? 0时的初位移 x0和初速度v （称为初始条件） 0 ? 我们有 x0 ? A cos?， v0 ? ??A sin ? A? x ? 2 0 由此，可解得： ?2 v0 2 v0 ? ? tg (? ) ?x0 ?1 Mechanics of Vibration 4、简谐运动的旋转矢量表示法 为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用 一个旋转矢量来表示简谐运动。 ? （1）旋转矢量的长度等于振幅 A， 记作： A。 ? (2) 矢量A 在图平面内绕O点以? 为角速度作逆时针 匀速转动。 ? （ 3） t ? 0时刻， A与OX轴的夹角等于初位相 ?。 则： 在任一时刻t ，该矢量与 X轴的夹角为 ?t ? ?， 其末端M点在OX轴上的投影点的坐标为 ： M A x ? A cos （?t ? ?） ? 因此， 旋转矢量A的末端在OX轴上的 投影点的运动是简谐运 动。 O ?t ? ? X x Mechanics of Vibration (4）比较两个谐振动的相位差 Φ2－φ1＝2kπ称同相 πΦ2－φ10称2超前 Φ2－φ1＝（2k+1）π称反相 π φ1 － Φ20称1超前 旋转矢量与谐振动的对应关系 谐振动 旋转矢量 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 A ? ? t+? ? 振幅 初相 相位 圆频率 T 谐振动周期 园周运动周期 Mechanics of Vibration ? 平行简谐振动的合成 一、同方向、同频率的简谐振动的合成 ? 设某个质点同时参与两 个 A2 频率相等、沿着同一方 向 （X轴方向）振动的简谐 运动，分别为： ?2 ? x1 ? A1 cos( ?t ? ? 1 ) ?1 x 2 ? A2 cos( ?t ? ? 2 ) O x2 下面用旋转矢量法求合 运动 x ? A cos(?t ? ? ) 其中： A ? ?? A ? A1 x1 x X 仍然是同频率 2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 ) 的简谐振动 A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 tg? ? 结论： A1 cos?1 ? A2 cos? 2 Mechanics of Vibration 讨论一： ?2 ? ?1 ? 2k? A ? A1 ? A2 讨论二： ? 2 ? ?1 ? (2k ? 1)? 合振幅, 称为干涉相长 k ? 0,?1,?2,? ? A ? A2 ? A1 k ? 0,?1,?2,? 称为干涉相消。 A ? A1 ? A2 A1=A2 时， A=0 讨论三： ? A2 ? A ? A ? A1 一般情况： ? 2 ? ?1 ? k? k ? 0,?1,?2,? ? A2 A1 ? A2 ? A ? A1 ? A2 ? A1 Mechanics of Vibration 二、同方向、不同频率的简谐振动的合成 x1 (t ) ? A cos(?1t ? ? ) 利用： cos ? ? cos ? ? 2 cos ??? 2 x2 (t ) ? A cos(?2t ? ? ) ? cos ??? 2 合成振动表达式：x(t ) ? A cos(?1t ? ? ) ? A cos(? 2t ? ? ) (? 2 ? ?1 )t (? 2 ? ?1 )t ? 2 A cos ? cos[ ??] 2 2 当 ?1与?2 都很大，且相差甚微时，可将 2 A cos(?2 ? ?1 )t / 2 视为振幅变化部分， 合成振动是以 (? 2 ? ?1 ) / 2 为角频率的谐振动。 其振幅变化的周期由振幅值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。三综合试验箱这种 合振动忽强忽弱的现象称为拍。 Mechanics of Vibration 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频 ? 2 ? ?1 t ) 的频率的两倍。 显然，拍频是振动 cos( 2? 拍周期 : T拍 ? ? 2 ? ?1 2 拍频率：f 拍 ? f 2 ? f1 x(t ) t Mechanics of Vibration ? 垂直简谐振动的合成 一、同频率垂直简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即 x ? A1 cos(?t ? ?1 ); y ? A2 cos(?t ? ?2 ) x 2 y 2 2 xy 2 ? ? cos ? ? ? sin ?? 2 2 A1 A2 A1 A2 质点的运动方向与 ?? 有关。当 0 ? ?? ? ? 时， 质点沿顺时针方向运动；当 ? ? ?? ? 2? 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 ? A2 时，椭圆退化为圆。 上式是个椭圆方程，具体形状由 ?? ? (?2 ? ?1 ) 相位差决定。 Mechanics of Vibration 讨论1 2 2 ?2 ? ?1 ? ?, (?2 ? ?1 ) ? 0 x y 2 xy ? 2? ?0 2 A1 A2 A1 A2 A2 x 直线上的振动。 所以是在 y ? A1 y x 讨论2 (?2 ? ?1 ) ? ? x 2 y 2 2 xy ? 2? ?0 2 A1 A2 A1 A2 y A2 x 直线上的振动。 所以是在 y ? ? A1 x Mechanics of Vibration 2 2 x y 讨论3 (? 2 ? ?1 ) ? 时， ? 2 ?1 2 2 A1 A2 ? 所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为 A2 的椭圆方程，且顺时针旋转。 质点的轨道是圆。 2 2 3 ? x y 讨论4 (? 2 ? ?1 ) ? 时， ? 2 ?1 2 2 A1 A2 所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为 A2 的椭圆方程，且逆时针旋转。 A1 ? A2 A1 ? A2 质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。 Mechanics of Vibration 讨论5 ? ? 20 ? ?10 ? k 2 则为任一椭圆方程。 k ? 0， 1， 2， 3?? 综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合 振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。 ? 2 ? ?1 ? ? 4 ? 2 ? ?1 ? 3? 4 5? 4 7? 4 Mechanics of Vibration 二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成 一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期 性的运动。 当 0 ? ? 2 ? ?1 ? ? 时是顺时针转； ? ? ? ? ? ? 2? 时是逆时针转。 2 1 如果两个互相垂直的振动频率成整数 比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也 具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨 如图形。 用李萨如图形在无线电技术 中可以测量频率： Tx : Ty ? 1: 2 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动， 已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨 如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。
以上信息由无锡玛瑞特科技有限公司整理编辑，了解更多高低温冲击试验箱,高低温湿热试验箱,双85试验箱,恒温恒湿试验箱,三综合试验箱信息请访问http://www.wxmrt.com